numero pi

números

evolución de los tipos de números

Ha de resultar fácil de comprender que el conjunto N = {1,2,3,…} de los números naturales es un resultado obligado por el desarrollo de la sociedad humana desde el principio de los tiempos, se usan para contar. La inclusión del 0 en ese conjunto y la necesidad de ampliar a los enteros negativos, dando lugar al conjunto Z de números naturales es, también, correlativa y evidente. Así también ha de serlo la ampliación de los números conocidos con el conjunto Q de los números racionales, aquellos que se expresan como cociente de dos enteros exceptuando el 0, (porque la división por 0 ya conduce a terreno pantanoso poco cómodo, ya que cuando metemos de por medio la noción de infinito las cosas se descontrolan como veremos en futuras entradas). Entonces se empieza a complicar la cosa. Surge la necesidad de ampliar los tipos de números conocidos por la aparición de los números irracionales, aquellos que no son el resultado de una fracción y que junto con el resto conforman el conjunto R de números reales. Algunos de estos números tienen entidad y nombre propio. Dediquemos unos minutos a estos números especiales.

raiz cuadrada de dos = 1.4142

Un buen ejemplo de estos números fuera de lo común es √2, un número irracional que no se puede expresar como una fracción. Y es un ejemplo que me viene al pelo para presentar la demostración por reducción al absurdo,  una herramienta muy elegante de demostrar que una proposición ha de ser verdadera si podemos demostrar que no puede ser falsa (la reductio ad absurdum precisamente para ver que  es irracional está muy bien explicada en Wikipedia)

raiz cuadrada de dos

pi = 3.1416

En geometría euclídea  pi es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es el número irracional más conocido y hacia 1800 aC los egipcios le asignaban un valor de 3,1605

Aproximaciones curiosas de pi son, p.ej.: pi_aprox Pero, la forma tradicional de buscar más y más decimales de pi, ha sido la de inscribir un polígono regular en una circunferencia de radio conocido. El incremento en el número de caras de ese polígono conduce a una mayor precisión para pi; cuando el número de lados tiende a infinito, el perímetro del polígono y la circunferencia se igualan.

pi_aprox

e = 2.7182

Es el número de Euler o constante de Napier (el logaritmo en base e se llama logaritmo neperiano)

Interviene directamente en la construcción de una curva muy particular, la catenaria, representada en el siguiente gráfico por g(x).  La catenaria es la curva que adopta una cuerda, un cable, una cadena, sujeta por sus dos extremos y sometida a un campo gravitatorio uniforme (cables del tendido eléctrico, la cuerda de tender la ropa, la catenaria de un tren,…)

e_numero euler

phi = 1.6180

La primera referencia a la proporción aurea  la hace el geómetra griego Euclides (325-265 aC) de este modo “Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor”.

El valor de esta razón , el número phi, se conoce como razón aurea, divina proporción o número de oro, y aparece en disciplinas como biología, arte, música, arquitectura o matemáticas. El Hombre de Vitrubio de Leonardo da Vinci, está proporcionado de forma que la altura total y la altura hasta el ombligo cumplen la razón aurea. El número phi aparece en muchas otras proporciones en este y otros grabados.

phi1

En el pentagrama, la estrella de cinco puntas que se construye sobre los vértices de un pentágono, encontramos la razón aurea entre varios segmentos.

phi2

Otras curiosas propiedades con phi:

phi3

Dados dos arcos de circunferencia b, a, el ángulo de oro es el menor ángulo que cumple que ambos arcos cumplen la proporción aurea. Este ángulo es aproximadamente 137.5º y aparece en la disposición de los pétalos de algunas flores, particularmente del girasol, cuyas semillas se disponen según la espiral de Fermat, basada en la serie de Fibonacci.

La sucesión de Fibonacci está íntimamente ligada a phi. Es una secuencia infinita de números naturales que empieza como 0,1 y el resto de los términos se obtienen sumando los dos anteriores:

phi4