la paradoja de las dos ruedas

Nos encontramos en el año 1980, en un aula del colegio Corazón de María de Gijón, momentos antes de acabar una clase de dibujo técnico.

Manolo, el profesor, está ese día más risueño de lo normal (es una persona muy seria en clase, pero en la corta distancia su semblante se vuelve amable y cercano (claro, en la corta distancia tiene que ser más cercano). Desenrolla la cuerda que utiliza para hacer los dibujos sobre la pizarra, la impregna bien de tiza y comenza a trazar un esbozo de un dibujo que representa una circunferencia apoyada en una linea horizontal. Comienza a hablar y explica los gráficos y lo que sucede al final me deja con la boca abierta, confundido por lo absurdo que acaba de demostrar y que la razón no puede aceptar, pero los hechos son los hechos.

Dice:

Sean dos discos concéntricos soldados entre sí, que ruedan apoyados en sendos raíles, sin rozar ni deslizar. La siguiente animación te ayudará a componer el sistema de dos ruedas que giran por ese curioso rail:

Ahora pensamos en una de ellas, cualquiera. Esquemáticamente se trata de un círculo que gira una vuelta completa:

  • Partimos de la base de que una circunferencia, cuando realiza un giro completo, la distancia que ha recorrido es precisamente su longitud, o sea:
longitud de la circunferencia

longitud de la circunferencia

(Si no estamos de acuerdo en este punto, mejor deja de leer, no te vas a creer lo que sigue)

  • Ahora consideremos el conjunto representado en la animación. Estúdialo atentamente y sigue mi razonamiento paso a paso:
las dos ruedas de la animación vistas de frente

las dos ruedas de la animación vistas de frente

  •  En la posición inicial consideremos los puntos Pr de la circunferencia de radio r, y PR de la circunferencia de radio R. Ambos puntos están apoyados en su raíl respectivo.
  • Cuando las circunferencias completan una revolución los puntos Pr y PR, por el hecho de estar ambas ruedas soldadas, habrán vuelto a su posicion original. en la misma vertical del centro de ambas ruedas.
  • Y, más aún, la distancia recorrida al completar una revolución ha de ser, como vimos en el primer gráfico, l en el caso de la circunferencia pequeña, y L en el caso de la grande. Es decir:
desarrollo

desarrollo

Ya imagino que llegas a este punto bastante mosqueado. Pero el álgebra, razonada paso a paso, es demoledora. No he hecho trampa, no he dividido por cero como suele hacerse en otras trampas del estilo, no he jugado con el infinito, que siempre pone las cosas muy difíciles a nuestro cerebro, y no he violado ninguna ley matemática.

El sentido común te dice que está mal… pero los hechos son los hechos: Concluimos que vivimos en un mundo donde las circuferencias sean del tamaño que sean, tienen todas el mismo radio.